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《2010年09级高等代数每课一练》

发布者：sudytech发布时间：2021-03-26浏览次数：1998

MATH

每课一题是老师与学生教学互动的一种尝试方式。每次上课时，学生可根据本次课以前所学内容，列出一道问题供老师上课时讲解，老师也可选择让出题学生上台解答。在这里要感谢参与出题与给予解答的同学。

 

$N$次实系数多项式最多有 $N$ 个不同的实根（许珂诚 2010.03.22 ）

请用前三周已经学过的高代知识证明：$\QTR{bs}{N}$次实系数多项式最多有$\QTR{bs}{N}$个不同的实根。

证明：

（反证法）假设原命题不成立，则存在一个实系数多项式，它有 $n+1$ 个不同实根。我们设该实系数多项式为 MATH （ $a_{n}\neq0$ ）。它的 $n+1$ 个不同的实根为 MATH 则有 MATH。我们可由此得到下述关于 MATH 的线性方程组（*）MATH该方程的系数矩阵行列式为MATH由 Cramer 法则得 MATH 这与 $a_{n}\neq0$ 矛盾。所以，假设不成立原命题成立。

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求行列式（李晓 2010.03.24 ）

设MATH，求MATH。

解：

MATH所以 MATH。

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求行（列）代数余子式之和（张启航 2010.03.29 ）

设MATH，求MATH和求MATH。

解：

因为MATH所以沿第一列展开，有 MATH。同理MATH于是，沿第一行展开得，MATH

解：

另：一般地，我们也可以用递推公式求这种行列式，先沿最后一列展开，后一个行列式再沿最后一列展开：MATH于是有MATH

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求行列式（贺玲霖 2010.03.31 ）

求行列式MATH

解：

记 MATH，则MATH故MATH或同理，MATH，综合 MATH 得，MATH。

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证明矩阵奇异当且仅当 $AB=0$ 有非零解

求证：$n$阶方阵$A$是奇异阵的充分必要条件是存在不为零的方阵$B$，使$AB=0$.

证明：

显然若 $A$ 可逆，从 $AB=0$ 可得到 $B=0$，因此充分性成立。

反之，若 $A$ 为奇异矩阵，则存在可逆矩阵 $P,Q$ 使 MATH，其中 $r<n$。令 MATH，则 $PAQC=0$。又因为 $P$ 可逆，故 $AQC=0$。只要令 $B=QC$ 就得到了结论。

证明伴随阵的性质（刘孝趡S ）

$A$是一个$n$阶方阵。求证：

  1. MATH

  2. MATH

  3. MATH

  4. MATH

  5. 若 $|A|$ 不等于零，MATH

  6. MATH

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矩阵伴随与转置相等（喻卓群 2010.4.7 ）

设$A$为$n$阶非零实方阵，$A^{\ast}$为其伴随矩阵，证明：若$A^{\ast}=A^{T}$则MATH。

证明：

$A^{\ast}=A^{T}$，故 $AA^{\ast}=AA^{T}$，由定理知 MATH。设 $A$ 的第 $i$ 行非零，则MATH于是 MATH。

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求行列式（ van de Monde 的平方）（胡乐川 2010.04.12 ）

令 MATH，并取 MATH。求 MATH。

解：

当 $n=3$ 时，可以看到，MATH。一般地，$A=B^{T}B$，其中 $B$ 是 van de Monde 行列式中出现的矩阵。故MATH

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求逆阵（赵雪 2010.4.14 ）

求 MATH 的逆阵。

解：

MATH故所求逆阵为 MATH。

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复数系统的矩阵表示（杨笑宇 2010.4.19）

（ I ）记 MATH，试证：存在 $I_{0}$，$I_{1}\in S$，使 $I_{1}^{2}=-I_{0}$ 且 MATH；即复数可以用矩阵来表示；

（ II ）作为复数域的推广，若令MATH推广上述结论。

解：

（ I ）令 MATH，MATH，则 MATH；MATH

（ II ）若记 $a=\alpha+\beta i$；$b=\gamma+\xi i$，其中 MATH，则MATH只要令 MATH，MATH，MATH，MATH，则有

  • MATH；

  • MATH；MATH；MATH；$AB=-BA$，当 MATH 时；

  • $S^{\prime}$ 中每个矩阵均为可逆阵，且MATH这样的数全体称为四元数体，其中体表示有加法，有乘法，满足结合律，分配律等，且每个元素均存在逆；类似于域，但不一定有交换律成立。实数域上有限维体（除环）只有实数域本身，复数域和四元数体。

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求行列式（夏天 2010.4.21）

MATH

解：

将欲求的行列式记为 $D_{n}$，则MATH所以MATH注意，MATH，也有上述形式，故可归纳假设MATH由递推公式 MATH，知所设结论成立。

解：

求行列式MATH

【解】若MATH

则MATH；

若$x_{i}\neq a_{i}$MATH,令MATHMATH，MATH

则MATH，MATH

现证MATH

证：由MATH...①MATH

两式两边各取行列式，知MATH

又MATHMATH

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方阵分解为可逆阵与幂等阵之积（王浩然 2010.4.26）

证明任一方阵可分解为一个可逆阵与一个幂等阵之积。

证明：

设 $A$ 是一个方阵。则由校准型理论，存在可逆阵 $P$ 和 $Q$，使得MATH于是MATH由MATH知 MATH 是一个幂等阵，而 $P^{-1}Q^{-1}$ 显然是可逆阵。故而有所求分解 MATH！

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$I+AB$与$I+BA$可逆的等价性（杨可人 2010.4.28）

  1. 若$A\U{3001} B$为$n$阶矩阵，$I_{n}+AB$可逆，求证：$I_{n}+BA$也可逆；

  2. 若$A$是$m\times n$矩阵，$B$是$n\times m$矩阵，$I_{m}+AB$可逆，求证：$I_{n}+BA$也可逆；

  3. 若$A$是$n$阶可逆矩阵，$\alpha$、$\beta$是$n$维列向量，且MATH，求证：MATH

证明：

第一问和第二问可一起证明

  1. 因为MATH，所以有MATH，故MATH所以MATH另若只需证明可逆性，也可用降阶公式（MATH）：MATH

  2. 利用前面所得，MATH